【人教A版】2020高中数学必修四导学案:第二章2.4.1*面向量数量积的物理背景及其含义一_含答案

发布时间:2021-10-20 23:20:34

2.4.1 *面向量数量积的物理背景及其含义(一)
学*目标 1.了解*面向量数量积的物理背景,即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的 功.2.掌握*面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两 个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
知识点一 *面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,如图.

思考 1 如何计算这个力所做的功?

答案 W=|F||s|cos θ .

思考 2 力做功的大小与哪些量有关?

答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.

梳理

条件

非零向量 a 与 b,a 与 b 的夹角为 θ

结论 数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)

向量 a 与 b 的数量积记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos 记法
θ

规定

零向量与任一向量的数量积为 0

知识点二 *面向量数量积的几何意义 思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 上的投影?什么叫做向量 a 在向量 b 上的投影? 答案 如图所示,→OA=a,O→B=b,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.

思考 2 向量 b 在向量 a 上的投影与向量 a 在向量 b 上的投影相同吗? 答案 由投影的定义知,二者不一定相同. 梳理 (1)条件:向量 a 与 b 的夹角为 θ . (2)投影:

向量 b 在 a 方向上的投影 向量 a 在 b 方向上的投影

|b|cos θ
|a|cos θ

(3)a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 知识点三 *面向量数量积的性质 思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别? 答案 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积是数量. 思考 2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定? 答案 由两个非零向量的夹角决定. 当 0°≤θ <90°时,非零向量的数量积为正数. 当 θ =90°时,非零向量的数量积为零. 当 90°<θ ≤180°时,非零向量的数量积为负数. 梳理 设向量 a 与 b 都是非零向量,它们的夹角为 θ , (1)a⊥b?a·b=0. (2)当 a∥b 时,a·b=?????|-a||a|b|||b,|a,与ab与同b反向向,. (3)a·a=|a|2 或|a|= a·a. (4)cos θ =|aa·||bb|. (5)|a·b|≤|a||b|.

类型一 求两向量的数量积 例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角为 30°时,分别求 a 与 b 的数量积. 解 (1)a∥b,若 a 与 b 同向,则 θ =0°, a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ =180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°,∴a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,a·b=|a||b|cos 30°

=4×5× 23=10 3.

反思与感悟 求*面向量数量积的步骤是:(1)求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0°,180°];(2) 分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即 a·b=|a||b|cos θ ,要特别注意书写时 a 与 b 之间用

实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.

跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则→BD·→CD等于( )

A.-32a2

B.-34a2

C.34a2

D.32a2

答案 D

解析 如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120°.

∴B→D·C→D=(→BC+→CD)·→CD

=B→C·C→D+C→D2

=a·a·cos 60°+a2=32a2.

类型二 求向量的模

例 2 已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为π3 ,求|a+b|,|a-b|.

解 a·b=|a||b|cos θ =5×5×12=225.

|a+b|= ?a+b?2= |a|2+2a·b+|b|2



25+2×225+25=5 3.

|a-b|= ?a-b?2= |a|2-2a·b+|b|2



25-2×225+25=5.

引申探究 若本例中条件不变,求|2a+b|,|a-2b|.

解 a·b=|a||b|cos θ =5×5×12=225,

|2a+b|= ?2a+b?2= 4|a|2+4a·b+|b|2



4×25+4×225+25=5 7.

|a-2b|= ?a-2b?2= |a|2-4a·b+4|b|2



25-4×225+4×25=5 3.

反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用 a2=|a|2,即|a|= a2,勿忘记开方.

跟踪训练 2 已知|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5,求|3a+b|的值. 解 |3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2

=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b, ∵|3a-2b|=5,∴325-12a·b=25, ∴a·b=25. ∴|3a+b|2=(3a+b)2 =9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400,

故|3a+b|=20.

类型三 求向量的夹角 例 3 设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 解 ∵|n|=|m|=1 且 m 与 n 夹角是 60°,

∴m·n=|m||n|cos 60°=1×1×12=12.

|a|=|2m+n|= ?2m+n?2= 4×1+1+4m·n



4×1+1+4×12= 7,

|b|=|2n-3m|= ?2n-3m?2

= 4×1+9×1-12m·n



4×1+9×1-12×12= 7,

a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2

1

7

=2-6×1+2×1=-2.

设 a 与 b 的夹角为 θ ,

a·b

-27

1

则 cos θ =|a||b|= 7× 7=-2.

又∵θ ∈[0,π ],∴θ =23π ,故 a 与 b 的夹角为23π .

反思与感悟 求向量夹角时,应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角,注意

向量夹角的范围是[0,π ].

跟踪训练 3

已知

a·b=-9,a



b

方向上的投影为-3,b



a

3 方向上的投影为-2,求

a

与 b 的夹角 θ .

??|a|cos θ =-3, 解 ∵???|b|cos θ =-32,

??a|·b|b=-3, ∴???a|·a|b=-32,

??- |b9|=-3, 即???-|a9|=-32,

∴?????||ab||==63,.

∴cos θ =|aa·||bb|=6-×93=-12. 又∵0°≤θ ≤180°,∴θ =120°.

1.已知|a|=8,|b|=4,〈a,b〉=120°,则向量 b 在 a 方向上的投影为( )

A.4 B.-4 C.2 D.-2

答案 D

解析 向量 b 在 a 方向上的投影为

|b|cos〈a,b〉=4×cos 120°=-2.

2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b 等于( )

A.1 B.2 C.3 D.5

答案 A

解析 ∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,



|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,



由①-②得 4a·b=4,

∴a·b=1. 3.若 a⊥b,c 与 a 及与 b 的夹角均为 60°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=

________.

答案 11 解 析 (a + 2b - c)2 = a2 + 4b2 + c2 + 4a·b - 2a·c - 4b·c = 12 + 4×22 + 32 + 4×0 -

2×1×3×cos 60°-4×2×3×cos 60°=11. 4.在△ABC 中,|→AB|=13,|B→C|=5,|C→A|=12,则A→B·B→C的值是________. 答案 -25 解析 易知|→AB|2=|B→C|2+|→CA|2,C=90°. ∴cos B=153, 又 cos 〈A→B,B→C〉=cos(180°-B), ∴A→B·B→C=|→AB||→BC|cos(180°-B)
=13×5×???-153???=-25. 5.已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: (1)→AB·→AC;(2)A→B·B→C;(3)B→C·A→C. 解 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°. ∴A→B·A→C=|→AB||→AC|cos 60°=1×1×12=12. (2)∵A→B与B→C的夹角为 120°, ∴A→B·B→C=|→AB||→BC|cos 120° =1×1×???-12???=-12. (3)∵B→C与A→C的夹角为 60°, ∴B→C·A→C=|→BC||→AC|cos 60°=1×1×12=12.
1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当 a≠0,b≠0, 0°≤θ <90°时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ ≤180°时),还可以为 0(当 a=0 或 b=0 或 θ =90°时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是 有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,绝不可混淆. 3.a·b=|a||b|cos θ 中,|b|cos θ 和|a|cos θ 分别叫做 b 在 a 方向上的投影和 a 在 b 方向上的投影,要结合图形严格区分. 4.求投影有两种方法 (1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ (θ 为 a,b 的夹角),a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ .

(2)b 在 a 方向上的投影为a|·a|b,a 在 b 方向上的投影为a|·b|b. 5.两非零向量 a,b,a⊥b?a·b=0,求向量模时要灵活运用公式|a|= a2.

课时作业

一、选择题

1.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|= 19,则|a-b|等于( )

A. 7

B. 13

C. 15

D. 17

答案 A 解析 因为|a+b|2=19,所以 a2+2a·b+b2=19, 所以 2a·b=19-4-9=6,

于是|a-b|= |a-b|2= 4-6+9= 7. 2.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角 θ =150°,则 a·b 等于( )

A.-6 B.6 C.-6 3 D.6 3

答案 C

3.已知|a|=9,|b|=6 2,a·b=-54,则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) A.45° B.135° C.120° D.150°

答案 B

解析

∵cos

θ

=|aa·||bb|=9×-654

=- 2

22,

∵0°≤θ ≤180°,∴θ =135°. 4.若|a|=2,|b|=4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,则向量 a 在向量 b 方向上的投影等

于( )

A.-3 B.-2 C.2 D.-1

答案 D 解析 向量 a 在向量 b 方向上的投影是|a|cos θ =2×cos 120°=-1. 5.已知向量 a,b 和实数 λ ,下列选项中错误的是( )

A.|a|= a·a B.|a·b|=|a||b| C.λ (a·b)=λ a·b D.|a·b|≤|a||b|

答案 B

解析 因为|a·b|=||a||b|cos θ |(θ 为向量 a 与 b 的夹角)=|a||b||cos θ |, 当且仅当 θ =0 或 π 时,使|a·b|=|a||b|,故 B 错. 6.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值

范围是( )

A.[0,π6 ]

B.[π3 ,π ]

C.[π3 ,23π ]

D.[π6 ,π ]

答案 B 解析 ∵Δ =a2-4|a||b|cos θ (θ 为向量 a 与 b 的夹角), 若方程有实根,则有 Δ ≥0,即 a2-4|a||b|cos θ ≥0, 又|a|=2|b|, ∴Δ =4|b|2-8|b|2cos θ ≥0, ∴cos θ ≤12,

又∵0≤θ ≤π ,

∴π3 ≤θ ≤π .

7.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到

点 F,使得 DE=2EF,则A→F·B→C的值为( )

A.-58 B.18 C.14 D.181

答案 B

解析 如图所示,∵A→F=A→D+D→F

=12→AB+34→AC, →BC=→AC-→AB, ∴A→F·B→C=(12→AB+34A→C)·(→AC-→AB) =-12|A→B|2-14A→B·A→C+34|→AC|2

=-12×1-14×1×1×12+34=18.

故选 B.

8.在四边形 ABCD 中,→AB=→DC,且A→C·B→D=0,则四边形 ABCD 是( )

A.矩形

B.菱形

C.直角梯形

D.等腰梯形

答案 B

二、填空题

9.设 e1,e2 是两个单位向量,它们的夹角为 60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.

9 答案 -2

10.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为________.

答案 120°

11.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α ,且 cos α =13,若向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹

角为 β ,则 cos β =________.

22 答案 3

解析 ∵|a|= ?3e1-2e2?2=

1 9+4-12×1×1×3=3,

|b|= ?3e1-e2?2=

9+1-6×1×1×13=2 2,

∴a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e21-9e1·e2+2e22

1 =9-9×1×1×3+2=8,

∴cos

β

=8 3×2

=2 2

3

2.

12.已知向量 a 在向量 b 方向上的投影是23,|b|=3,则 a·b 的值为________.

答案 2 解析 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|b||a|cos〈a,b〉 =3×23=2.

13.已知点 A,B,C 满足|A→B|=3,|→BC|=4,|→CA|=5,则A→B·B→C+B→C·C→A+C→A·A→B的值是 ________. 答案 -25

解析 ∵|C→A|2=|→AB|2+|B→C|2, ∴∠B=90°,∴→AB·→BC=0. ∵cos C=45,cos A=35, ∴B→C·C→A=|→BC||→CA|cos (180°-C)
4 =4×5×(-5)=-16. →CA·→AB=|C→A||A→B|cos(180°-A) =5×3×(-35)=-9. ∴A→B·B→C+B→C·C→A+C→A·A→B=-25. 三、解答题 14.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 60°,计算: (1)(2a+b)·(2a-b);(2)|4a-2b|. 解 (1)(2a+b)·(2a-b)=(2a)2-b2 =4|a|2-|b|2=4×42-82=0. (2)∵|4a-2b|2=(4a-2b)2 =16a2-16a·b+4b2 =16×42-16×4×8×cos 60°+4×82=256. ∴|4a-2b|=16. 四、探究与拓展 15.在△ABC 中,已知|→AB|=5,|B→C|=4,|A→C|=3,求: (1)→AB·→BC;(2)A→C在A→B方向上的投影;(3)A→B在B→C方向上的投影. 解 ∵|→AB|=5,|→BC|=4,|A→C|=3. ∴△ABC 为直角三角形,且 C=90°. ∴cos A=AACB=35,cos B=ABBC=45. (1)→AB·→BC=-B→A·B→C=-5×4×45=-16.
3 (2)|→AC|·cos〈A→C,A→B〉=AC,|A→→B|·→AB=5×35×5=95.

(3)|→AB|·cos〈A→B,B→C〉=BC,|B→→C|·→AB=-BA, |B→→ C|·B→C -5×4×45
= 4 =-4.


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